本文来源 | 《算法图解：像小说一样有趣的算法入门书》

作者 | Aditya Bhargava

责编 | 林瑟

我一个非程序员，买了这本《算法图解》的书在看，刚拆快递后翻了一会，被我老板给看到了，被她强行借走去翻了，说很有意思，翻了几天才还我。。。如果你是下面中任何一种类型的同学，请继续往下看：

• 业余程序员

• 编程培训班学员

• 需要重温算法的计算机专业毕业生

• 对编程感兴趣的物理或数学等专业毕业生

算法是一组完成任务的指令。任何代码片段都可视为算法，但这里我们只介绍比较有趣的部分，比如，二分查找。

假设要在电话簿中找一个名字以 K 打头的人，现在谁还用电话簿！可以从头开始翻页，直到进入以 K 打头的部分。但你很可能不这样做，而是从中间开始，因为你知道以 K 打头的名字在电话簿中间。

现在假设你登录 Facebook。当你这样做时，Facebook 必须核实你是否有其网站的账户，因此必须在其数据库中查找你的用户名。如果你的用户名为 karlmageddon，Facebook 可从以 A 打头的部分开始查找，但更合乎逻辑的做法是从中间开始查找。

这是一个查找问题，在前述所有情况下，都可使用同一种算法来解决问题，这种算法就是二分查找。

二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表（必须有序的原因稍后解释）。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回null。

下图是一个例子。

下面的示例说明了二分查找的工作原理。我随便想一个1～100的数字。

你的目标是以最少的次数猜到这个数字。你每次猜测后，我会说小了、大了或对了。

假设你从1开始依次往上猜，猜测过程会是这样。

这是简单查找，更准确的说法是傻找。每次猜测都只能排除一个数字。如果我想的数字是 99，你得猜 99 次才能猜到！

01

更佳的查找方式

下面是一种更佳的猜法。从 50 开始。

小了，但排除了一半的数字！至此，你知道 1～50 都小了。接下来，你猜75。

大了，那余下的数字又排除了一半！使用二分查找时，你猜测的是中间的数字，从而每次都将余下的数字排除一半。接下来，你猜 63（50 和 75 中间的数字）。

这就是二分查找，你学习了第一种算法！每次猜测排除的数字个数如下。

不管我心里想的是哪个数字，你在 7 次之内都能猜到，因为每次猜测都将排除很多数字！

假设你要在字典中查找一个单词，而该字典包含 240000 个单词，你认为每种查找最多需要多少步？

 

如果要查找的单词位于字典末尾，使用简单查找将需要 240000 步。使用二分查找时，每次排除一半单词，直到最后只剩下一个单词。

因此，使用二分查找只需 18 步——少多了！一般而言，对于包含 n 个元素的列表，用二分查找最多需要 log2n 步，而简单查找最多需要 n 步。

02

对数

你可能不记得什么是对数了，但很可能记得什么是幂。log10100相当于问“将多少个10相乘的结果为100”。答案是两个：10 × 10 = 100。因此，log10100 = 2。对数运算是幂运算的逆运算。

对数是幂运算的逆运算

本文使用大O表示法（稍后介绍）讨论运行时间时，log 指的都是 log2。使用简单查找法查找元素时，在最糟情况下需要查看每个元素。

而使用二分查找时，最多需要检查 log n个元素。如果列表包含 8 个元素，你最多需要检查 3 个元素，因为 log 8 = 3（23 = 8）。如果列表包含1024个元素，你最多需要检查10个元素，因为 log 1024 = 10（210 =1024）。

下面来看看如何编写执行二分查找的 Python 代码。你只需知道，可将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组中。这些桶从0开始编号：第一个桶的位置为#0，第二个桶为#1，第三个桶为#2，以此类推。

low = 0high = len(list) - 1

你每次都检查中间的元素。

mid = (low + high) / 2  ←---如果(low + high)不是偶数，Python自动将mid向下取整。guess = list[mid]

如果猜的数字小了，就相应地修改low。

if guess < item:   low = mid + 1

如果猜的数字大了，就修改high。完整的代码如下。

def binary_search(list, item):   low = 0    （以下2行）low和high用于跟踪要在其中查找的列表部分   high = len(list)—1     while low <= high:  ←-------------只要范围没有缩小到只包含一个元素，     mid = (low + high) / 2  ←-------------就检查中间的元素     guess = list[mid]    if guess == item:  ←-------------找到了元素      return mid    if guess > item:  ←-------------猜的数字大了       high = mid - 1     else:  ←---------------------------猜的数字小了       low = mid + 1   return None  ←--------------------没有指定的元素 my_list = [1, 3, 5, 7, 9]  ←------------来测试一下！print binary_search(my_list, 3) # => 1  ←--------------------别忘了索引从0开始，第二个位置的索引为1print binary_search(my_list, -1) # => None  ←--------------------在Python中，None表示空，它意味着没有找到指定的元素

03

计算机科学领域著名的旅行商问题

下面就是一个运行时间极长的算法。这个算法要解决的是旅行商问题，其计算时间增加得非常快，而有些非常聪明的人都认为没有改进空间。

有一位旅行商，他需要前往5个城市。

这位旅行商（姑且称之为 Opus 吧）要前往这5个城市，同时要确保旅程最短，为此，可考虑前往这些城市的各种可能顺序。

若按旅程最短的路线来选，5 个城市有 120 种不同的排列方式。因此，解决这个问题需要执行 120 次操作。涉及 6 个城市时，需要执行 720 次操作，依次递增！

推而广之，涉及 n 个城市时，需要执行 n!（n 的阶乘）次操作才能计算出结果。因此运行时间为 O(n!)，即阶乘时间。

这种算法很糟糕！这是计算机科学领域待解的问题之一。对于这个问题，目前还没有找到更快的算法，有些很聪明的人认为这个问题根本就没有更巧妙的算法。

面对这个问题，我们能做的只是去找出近似答案，高水平的读者可以在《算法图解：像小说一样有趣的算法入门书》中研究一下二叉树！！

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学算法不秃头

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